Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с цифрами и числами: мы запоминаем номера машин и телефонные номера, подсчитываем стоимость покупки в магазине, рассчитываем свой семейный бюджет…
Уже тысячи лет тому назад люди могли записывать числа, могли производить над ними арифметические действия, но принципы записи чисел могли быть самыми разными. В любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов. Такие символы впоследствии стали называться цифрами.
Цифры – символы, предназначенные для записи чисел.
Способы записи чисел с помощью цифр и соответствующие этим способам правила выполнения действий над числами называются системами счисления.
Единичная (палочная) система счисления
Каждый предмет в такой системе счисления обозначался черточкой. Количество черточек соответствовало количеству предметов. Пользоваться такой системой счисления было неудобно как при записи, так и при подсчете. Дальнейшее развитие систем счисления шло по двум путям. Можно было придумывать отдельное название (и обозначение) для каждого числа. Но если чисел оказывалось слишком много, то их названия и обозначения забывались. Поэтому при таком пути развития количество чисел приходилось ограничивать. На островах пролива Торреса до сих пор существует племя туземцев, где всего два числительных – «урапун» и «окоза». Но и чисел у них всего лишь семь: урапун, окоза, окоза-урапун, окоза-окоза, окоза-окоза-урапун, окоза-окоза-окоза, а последним является число, которое в переводе на русский означает слово «много». Число 7 является священным числом, а чисел, больших семи, это племя не использует.
Кстати, в русском языке существует много пословиц и поговорок, также связанных с этим числом. (Семь бед – один ответ. У семи нянек дитя без глазу. Семь раз отмерь, один раз отрежь.)
Второй путь основан на предположении, что для облегчения счета люди стали группировать по несколько предметов и использовать обозначения для таких групп предметов. А поскольку при подсчете естественным образом использовались пальцы рук, то в таких группах оказывалось по 5 или 10 предметов. По такому пути развивалась
Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления
Возникновение этой системы относят ко второй половине третьего тысячелетия до н.э. В ней использовались специальные знаки для обозначения степеней десяти: 1 - 
, 10 - 
,
102 - 
, 103 - 
и т.д.. Число 345 записывалось так:
.
Каждая цифра в записи числа не должна была повторяться более 9 раз.
В основе палочной и древнеегипетской систем счисления лежал принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в записи числа. В такой записи числа значение цифры не зависит от места, которое она занимает в записи числа.
Вавилонская шестидесятеричная система
Началом ее появления считают второе тысячелетие до н.э. Числа в этой системе составлялись из знаков двух видов: 
служил для записи единиц, а 
использовался для записи десятков. Число 35 выглядит так: 
. Число 60 обозначалось так же, как 1 - . Это же обозначение служило и для остальных степеней числа 60 – 3600 – 602; 216000 – 603. Для определения значения числа его запись нужно было разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых цифр соответствовало чередованию разрядов: 
=132. Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учетом того, что цифры в каждом последующем разряде «весили» в 60 раз больше таких же цифр предыдущего разряда.
Получается, что в числах от 1 до 59 значение цифры не зависело от ее номера, а для чисел, больших или равных 60, значение цифры зависело от ее позиции в записи числа. Здесь могла возникнуть путаница: знак можно было трактовать как любую степень числа 60; число 
могло быть равно 92 (60+30+2) или 3632 (3600+30+2); число 
могло быть равно как 444 (7*60+24), так и 7*3600+24. Это происходило по причине отсутствия 0. Впоследствии вавилоняне ввели знак 
для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда. Число 3632 теперь записывалось так 
. Но в конце числа этот символ обычно не ставился, так что он не являлся нулем в нашем понимании.
Такая система счисления – первая, основанная на позиционном принципе. Отмечают большую роль этой системы счисления в математике и астрономии. Так, мы до сих пор делим час на 60 мин, а минуту – на 60 секунд. Точно так же, следуя примеру вавилонян, делим окружность на 360 частей (градусов).
Римская система счисления
Для обозначения цифр в римской системе счисления использовались заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D, M, которые соответственно обозначали цифры 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:
- Сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (группа первого вида); III=3.
-
Разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая (группа второго вида). IV=4. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: перед L(50) и C(100) может стоять только Х(10); перед D(500) и M(1000) – только С(100); перед V(5) – только I(1).
- Сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого и второго видов. CLVI=156.
Рядом не должно стоять более трех одинаковых цифр.
Число 32 = XXXII (две группы первого вида); 444=CDXLIV(три группы второго вида); 1974=MCMLXXIV(наряду с группами обоих видов участвуют отдельные цифры).
В такой записи числа значение цифры не зависит от ее места в записи числа.
Алфавитные системы счисления
Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились славянская, ионийская, греческая. В таких системах числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. Алфавитная система была принята и в древней Руси. Числа записывали так же, как и слова, только ставили над ними знак – титло, позволяющий отличить числа от слов.
Числа от 11 до 19 записывали так же, как произносили, т.е. число единиц ставили перед числом десятков: один – на десять - 
; девять – на десять - 
В такой алфавитной системе счисления использовалось около 27 цифр. Запись чисел в пределах 1000 была не длиннее теперешней. Для записи чисел больших 1000 использовались те же цифры, что и для записи 1, 2, 3 и т.д., только перед цифрой ставили специальный знак - 
. Число 10 000 обозначалось той же буквой, что и 1,
только без титла, ее обводили кружком: 
. Называли это число «тьма». Отсюда пошло выражение «тьма народу». Таким образом, для обозначения «тем» - множественное число от слова «тьма» цифры обводились кружочками - 
- 20000.
10 тем, или 100000, было единицей высшего разряда – ее называли «легион». 10 легионов составляли леодр. Самая большая из величин, имеющих свое обозначение, называлась «колода» - 1050. Считалось, что «боле сего несть человеческому уму разумевати».
В алфавитной системе счисления проглядывают зачатки позиционной системы, т.к. для обозначения единиц разных разрядов применялись одни и те же буквы, только с добавлением специальных обозначений.
Такие системы счисления были неудобны для операций с большими числами. В ходе развития человеческого общества эти системы уступили свое место позиционным.
Индийская мультипликативная система
Позиционные системы счисления возникли независимо друг от друга в древнем Вавилоне, у индейцев племени майя и, наконец, в Индии. В таких системах счисления сначала возникли специальные обозначения, добавляемые к десяткам и сотням. Если обозначим через Х десятки, а через Y – сотни, то число 323=3Y 2X 3.
Современная десятичная система счисления возникла примерно в V веке нашей эры в Индии. Возникновение этой системы стало возможным после появления нуля. Теперешнее обозначение 0 впервые появилось в Греции после знакомства греческих ученых с астрономическими наблюдениями вавилонян. Для обознчения нулевого разряда греки стали использовать букву О – первую букву слова «OUDEN» - НИЧТО.
Индийцы соединили свою мультипликативную систему с греческим нулем и алфавитными принципами записи чисел в Греции.
Но эта система и цифры, используемые в ней, называются арабскими, т.к. в Европу такие цифры «привезли» арабские купцы вместе со своими товарами. В Европе такая система счисления получила распространение с начала XII века.
Таким образом, все системы счисления можно разбить на такие, в которых значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа и такие, в которых значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Первые из них мы будем называть ПОЗИЦИОННЫМИ, а вторые – НЕПОЗИЦИОННЫМИ.
ОСНОВАНИЕМ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ будем называть количество цифр в ее алфавите.
Неудобство непозиционных систем счисления (римская система) состоит в том, что для каждого нового разряда надо придумывать свою «цифру». По тем правилам, что мы с вами рассмотрели ранее, нельзя записать число, большее 3999=MMMCMXCIX. С нашей точки зрения, в таких системах неудобно производить вычисления, хотя, конечно, существуют правила, по которым эти действия производятся.
В позиционных системах счисления правила сложения были основаны на переходе в следующий разряд, если сумма цифр в соответствующих разрядах превысит соответствующую степень основания. Это правило, так же, как и правила вычитания, умножения и деления «столбиком», были разработаны еще в IX веке выдающимся математиком Мухаммедом ибн Мусой аль Хорезми. Такие правила по его имени получили название algorithmi (алгоритмы).
