Позиционные системы счисления. Перевод чисел в десятичную систему счисления и обратно

Повторение Какие системы счисления называются позиционными? Приведите примеры. Какие системы счисления называются непозиционными? Приведите примеры. Почему непозиционные системы счисления не получили развития в математике? Приведите примеры того, что, кроме десятичной позиционной системы счисления, человечество использовало и другие. Как вычислить значение числа в римской системе счисления? Запишите в римской системе счисления следующие числа: 144, 301, 1583, 2078, 959, 999. Запишите в десятичной системе счисления, называя группы цифр: CMXLVI, CDLXIX, CMLXXX,MMCXC. Дайте определения алфавита и основания (в позиционной) системе счисления. Принципы записи чисел в позиционных системах счисления     Наряду с понятиями алфавита и основания в позиционных системах счисления будем использовать понятие базиса.     Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту» или «вес» каждого разряда.     В привычной нам десятичной системе счисления базисом являются степени числа десять – 1, 10, 100, 1000, 1000… Это означает, что в записи числа каждая последующая цифра «весит» больше предыдущей в 10 раз. Более наглядно это проявляется в так называемой развернутой форме записи числа.     444=4*100+4+101+4*102; 658=8*100+5*101+6*102.     Натуральный ряд чисел в десятичной системе счисления: 1..9, 10..99, 100…     Кроме десятичной, мы будем рассматривать и другие позиционные системы счисления.     В восьмеричной системе счисления основание равно 8, алфавит составляют цифры от 0 до 7, базисом является последовательность 1, 8, 82, 83, 84…, т.е., каждая последующая цифра в 8 раз больше предыдущей. В развернутой форме восьмеричное число записывается так: 3458=5*80+4*81+3*82     Натуральный ряд чисел в восьмеричной системе счисления: 1..7,10, 11..77, 100…     Таким образом, справедливо, что 810=108.     В троичной системе счисления основание равно 3, алфавит составляют цифры 0,1,2, базисом являются числа 1, 3, 32, 33, 34…,т.е., единица каждого разряда в 3 раза больше предыдущей. В развернутой форме троичное число записывается так: 120=0*30+2*31+1*32. Натуральный ряд чисел в троичной системе счисления: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100… Сравнивая десятичный и троичный рады натуральных чисел, получаем, что 310=103.     Двоичная система счисления имеет алфавит, состоящий из цифр 0 и 1, основание, равное двум, базисную последовательность 1, 2, 22, 23,24,… Развернутая запись числа 101102=0*20+1*21+1*22+1*23+1*24. Натуральный ряд чисел: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111… Таким образом, 210=102.     В шестнадцатеричной системе счисления в алфавите, кроме цифр 0..9, используются заглавные буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F, которые обозначают цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15. Основание шестнадцатеричной системы счисления равно 16, базис составляют степени числа 16. Развернутая форма записи шестнадцатеричного числа 3А516=5*160+10*161+3*162. Натуральный ряд чисел 1..9, А..F, 10, 11, 12… Значит, 1610=1016.     Т.о., позиционная система счисления с основанием P характеризуется тем, что с помощью ограниченного набора цифр можно записать сколь угодно большое и сколь угодно малое число в виде суммы произведений цифр на положительные и отрицательные степени числа Р.     В общем виде это можно записать так: anan-1an-2…a1a0,b1b2…bk=an*pn+an-1*pn-1+…+a1*p1+a0*p0+b1*p-1+b2*p-2+…+bk*p-k     где р - основание системы счисления, аi,bi – цифры р-ичного числа. Правила перевода чисел в десятичную систему счисления     Запишем в развернутой форме числа:     14310=3*100+4*101+1*102;     143,7810=3*100+4*101+1*102+7*10-1+8*10-2;     56,318=6*80+5*81+3*8-1+1*8-2;     1011,012=1*20+1*21+0*22+1*23+0*2-1+1*2-2;     FC,1516=12*160+15*161+1*16-1+5*16-2;     Если мы вычислим суммы, записанные в каждой строчке, то это будет не что иное, как число в десятичной системе счисления. Таким образом, получаем первый алгоритм (правило) перевода чисел в десятичную систему счисления. Для перевода числа, записанного в системе счисления с основанием Р, в десятичную, нужно записать это число в развернутом виде, т.е. каждую цифру умножить не ее вес и вычислить сумму полученных произведений. Весом цифры называется соответствующая степень основания системы счисления. Полученный алгоритм можно переформулировать следующим образом: Для перевода числа, записанного в системе счисления с основанием Р, в десятичную, нужно пронумеровать цифры его целой части справа налево, начиная с 0, и дробной части – слева направо, начиная с (-1), затем найти произведение каждой цифры числа на степень основания, где показателем степени является номер цифры, и сложить полученные значения.     Пусть число 341 записано цифрами девятеричной, восьмеричной, шестеричной и шестнадцатеричной систем счисления, найдем его десятичное значение.     3419=3*92+4*91+1*90=28010;     3418=3*82+4*81+1*80=22510;     3416=3*62+4*61+1*60=13310;     34116=3*162+4*161+1*160=83310; Перевод чисел из десятичной системы счисления     Целые числа     Для обратного перевода нужно разложить десятичное число на слагаемые, содержащие максимальную степень основания нужной системы счисления. К примеру, переведем десятичное число 15 в двоичную, троичную и восьмеричную системы счисления соответственно:     1510=8+4+2+1=1*23+1*22+121+1*20=11112;     1510=9+6=1*32+2*31+0*30=1203;     1510=8+7=1*81+7*80=178;     Так можно переводить любые натуральные числа в десятичную систему счисления.     Попробуйте самостоятельно выполнить следующие задания:     Переведите в двоичную систему счисления десятичные числа 39 и 157. Коротко эти задания можно записать так: 3910→ Х2 и 15710→Х2.     Если вы получили 1001112 и 100111012 соответственно, то все выполнено правильно.     Получили, что для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием Р нужно разложить это число на слагаемые, содержащие максимальную степень числа Р и выписать коэффициенты (множители) при этих степенях. Вместо отсутствующей степени нужно записать 0.     Легко заметить, что множители при степенях Р не что иное, как остатки от последовательного деления десятичного числа на Р. Тогда запись Р-ичного числа превращается в последовательность остатков от деления на Р, записанных в обратном порядке.     Так получаем другой способ перевода целых чисел из десятичной системы счисления:     Для перевода целого десятичного числа в Р-ичную систему счисления, нужно последовательно делить число и получающиеся частные на Р, запоминая остатки, до тех пор, пока последнее частное не будет равно 0. После этого выписать полученные остатки в обратном порядке.     Сравните последовательность остатков, полученных при делении, с ответом, который вы получили в последнем примере.     При решении задач вы можете использовать любой из способов. Заметим лишь, что при переводе больших десятичных чисел в систему счисления с малым основанием (к примеру, в двоичную) первый способ гораздо быстрее приведет вас к результату.     Перевод правильных дробей и смешанных чисел     Напомним, что десятичная дробь называется правильной, если имеет нулевую целую часть.     Для перевода правильной десятичной дроби в Р-ичную систему счисления, ее нужно последовательно умножать на Р, запоминая и отбрасывая целую часть до тех пор, пока не произойдет одно из событий: Дробная часть не окажется равной нулю; Не будет выделен период в случае бесконечной периодической дроби; Не будет получено нужное количество знаков после запятой (не будет достигнута необходимая точность) в случае бесконечной непериодической дроби. Р-ичную запись правильной дроби будут составлять целые части в порядке их получения.     Переведем правильную десятичную дробь 0,875 в двоичную систему счисления: Процесс умножения закончен, т.к. получена нулевая дробная часть. Последовательность целых частей, выписанных в порядке получения, является дробной частью числа в двоичной системе счисления. Целая часть двоичной дроби равна нулю. Итак, 0,87510=0,1112. Убедитесь в этом, выполнив обратный перевод.     Для смешанных чисел целая и дробная части переводятся отдельно по своим алгоритмам, полученные результаты складываются. Задачи К оглавлению